نوشته

عریف

یک مجموعه چیست؟ خب، ساده است! یک دسته…

ابتدا ما یک ویژگی معمول برای “اجسام” (این کلمه بعداً تعریف خواهد شد) مشخص می کنیم و سپس تمامی “اشیا” ئی که این ویژگی معمول را دارند جمع آوری می کنیم.

بعنوان مثال، چیزهایی که شما می پوشید: کفش، جوراب، کلاه، پیراهن، شلوار، و …

مطمئنا می توانید به حداقل صد نوع از این اشیا اشاره کنید.

این دسته بعنوان مجموعه شناخته می شود.

یا یک مثال دیگر انگشت های دست هست.

این مجموعه شامل انگشت های اشاره، انگشت وسط، انگشت حلقه، و انگشت کوچک.

پس یک مجموعه شامل اشیاء به صورت یک دسته است که همه ی عضوها ویژگی مشترکی دارند.

نماد

یک نماد ساده برای مجموعه ها وجود دارد. به سادگی، تمامی عضوها را لیست می کنیم، آنها را با علامت کاما ” , ” جداسازی می کنیم، و در دو طرف این مجموعه { آکولاد } می گذاریم.

پس دو مجموعه ذکر شده در دو مثال قبل به شکل زیر نوشته می شوند:

{ جوراب ها، کفش ها، ساعت های مچی، پیراهن ها،… }

{ انگشت اشاره، انگشت وسط، انگشت حلقه، انگشت کوچک }

دقت کنید که مثال اول دارای ” … ” است (سه نقطه)

پس می فهمیم که مجموعه اول ادامه دارد، شاید تا بی نهایت!

(قبول…! در واقع پوشاک به اندازه بی نهایت در اطرافتان ندارید، ولی خب هنوز هم مطمئن نیستم! پس از یک ساعت تفکر در این مورد، هنوز اطمینان ندارم. پس بیایید همان بی نهایت را برای این مثال استفاده کنیم…!)

پس:

• مجموعه اول (جوراب ها و کفش ها و …) را یک مجموعه نامتناهی می نامیم.
• مجموعه دوم (انگشت اشاره، وسط و …) را یک مجموعه متناهی می نامیم.

اما می توان از ” … ” در وسط مجموعه استفاده نمود و از این طریق از نوشتن چیزهای اضافی و خلق یک لیست بلند پرهیز کرد:

مثال: مجموعه حروف:

{الف، ب، پ، …، و، ه، ی}

این مجموعه یک مجموعه متناهی است (فقط ۳۲ حرف داریم، نه؟)

مجموعه های عددی

خب این مجموعه ها در ریاضیات به چه دردی می خورند؟ هنگامی که یک مجموعه را تعریف می کنیم، تنها چیزی که باید مشخص شود، خصوصیات مشترک آنهاست. که می گوید این در اعداد ممکن نیست؟

• مجموعه اعداد زوج: { … , ۴ , ۲ ,۰ ,۲– ,۴– , …}
• مجموعه اعداد فرد: {… , ۳ ,۱ ,۱– ,۳– , …}
• مجموعه اعداد اول: {… ,۱۷ ,۱۳ ,۱۱ ,۷ ,۵ ,۳ ,۲}
• مجموعه مضرب های مثبت عدد ۳ کمتر از ۱۰: {۹ ,۶ ,۳}

و این لیست مجموعه ها به اینجا ختم نمی شود. می توانیم چندین مجموعه دیگر نیز داشته باشیم.

همچنین می شود مجموعه اعدادی تعریف کرد که هیچ ویژگی مشترکی با هم نداشته باشند، و فقط در آن مجموعه معرفی شده باشد. برای مثال:

{۲, ۳, ۶, ۸۲۸, ۳۸۳۹, ۸۸۲۷}

{۴, ۵, ۶, ۱۰, ۲۱}

{۲, ۹۴۹, ۴۸۲۸۲, ۴۲۸۸۲۹۵۹, ۱۱۹۴۸۴۲۰۳}

تمامی این ها مجموعه هایی هستند که شانسی با فشردن اعداد صفحه کلید به دست آمده است!

چرا مجموعه ها مهم هستند؟

مجموعه ها ویژگی ابتدایی ریاضیات است. اگرچه اکنون خود مجموعه ها به نظر بی اهمیت است، اما این شرایط و مکان مناسب استفاده از مجموعه ها است که آنها را آجر سازنده ساختمان ریاضیات کرده است.

ریاضیات به سرعت می تواند شدیدا پیچیده شود. نمودار، تئوری، جبر صریح، تجزیه و تحلیل واقعی، تجزیه و تحلیل پیچیده، جبر خطی، تئوری اعداد، و این لیست ادامه پیدا می کند. اما یک چیز وجود دارد که همه این ها با هم در آن مشترک هستند: مجموعه ها

مجموعه جهانی

در ابتدا، از کلمه “اجسام” استفاده کردیم. این مجموعه ها را مجموعه جهانی می نامیم. مجموعه ایست که شامل هر چیزی می شود. خب، همه چیز که نه، هر چیزی که به سوال ما مربوط باشد.

سپس مجموعه ها شامل اعداد صحیح (Integers) شدند. مجموعه جهانی برای آن می تواند تمامی اعداد صحیح باشد. در واقع، هنگام کار با نظریه اعداد، مجموعه ها تقریبا همان مجموعه های جهانی هستند، همانگونه که مجموعه اعداد همان مطالعه اعداد صحیح است.

اما در حساب دیفرانسیل و انتگرال (یا تجزیه و تحلیل / آنالیز واقعی)، مجموعه جهانی تقریبا برابر اعداد حقیقی است. و در تجزیه و تحلیل / آنالیز پیشرفته، درست حدس زدید، مجموعه جهانی اعداد پیچیده است.

ریاضی...